自古以来，各种竞赛方式历来是各行各业培养、锻炼和选拔人才的重要手段。凡竞赛实际上都有准备阶段、临场发挥和赛后总结、提高三个阶段。参赛者通过这三个阶段来接受挑战并锻炼提高自己。当然，也不是参加竞赛的人都能成为人才，获得优胜的选手参赛者如果不善于总结自己的长处和缺点，不断提高的话，也未必能发展成为优秀人才。诚然，如果太强调竞赛的功利性，也可能产生各种各样的弊病，副作用会大过正作用，使竞赛变了味，也就可能失去了培养、锻炼和选拔人才的功能。

就培养选拔科技人才而言，各种学科的竞赛也起到了很大的作用。就数学科学来说，很多国家都有面向中学生或大学生的数学竞赛，甚至还有国际或地区性的数学竞赛。例如，就后者而言，有从1959年开始举办的中学生国际奥林匹克数学竞赛(The International Mathematical Olympiad (IMO), 有兴趣的读者可以访问网址 http://www.imo.math.ca/ ), 有从1994年开始举办的国际大学生数学竞赛(International Mathematics Competition for Universtiy Students, IMC, 有兴趣的读者可以访问网址 http://www.imc-math.org.uk/ ), 北美(美国和加拿大)普特南大学生数学竞赛(The William Lowell Putnam Mathematical Competition, 有兴趣的读者可以访问网址 http://math.scu.edu/ 或 http://www.maa.org/ )。

因为大学生数学建模竞赛诞生于美国，而且其源起与普特南数学竞赛有关，加之这个竞赛是培养出许多优秀数学家和科学家的竞赛，所以在本章，我们从普特南数学竞赛谈起。

    本章包括普特南(Putnam)数学竞赛、大学生数学建模竞赛、为什么要参加大学生数学建模竞赛和怎样参加大学生数学建模竞赛四节。

1  普特南(Putnam)数学竞赛

普特南和他的想法

W. L. 普特南 (William Lowell Putnam, 1861 ~ 1924, 美国律师和银行家), 1882年毕业于哈佛大学。他深信在正规大学的学习中组队竞赛的价值. 他在哈佛毕业生杂志1921年12月那期上写了一篇文章中阐述了大学间智力竞赛的价值和优点。在他去世后，他的遗霜Elizabeth Lowell Putnam (1862-1935)于1927年建立了“普特南大学间对抗纪念基金(William Lowell Putnam Intercollegiate Memorial Fund)”。第一个由该基金资助的是校际英语竞赛。由该基金资助的第二次试验性竞赛是于1933年举行的10名哈佛大学的学生和10名西点军校的学生间一次数学竞赛。由于那次竞赛十分成功，于是就产生了举行所有感兴趣的大学和学院都可以参加的类似的年度竞赛的想法。但是直到1935年Elizabeth去世都没有举行过这样的竞赛。到了1938年才决定由美国数学协会来管理这个基金和组织了第一次正式的竞赛。

普特南数学竞赛

现在普特南数学竞赛的时间是每年 12 月第一周的星期六，共进行两试，每试 3 小时、6道题，每题10分。该竞赛是彻底闭卷的考试, 在限定的时间内主要测试参赛者思维敏捷、推理和计算的能力。竞赛分个人和团体(组队)，一个学校可以组织一个由三名学生组成队，名列前茅者有奖金奖励。竞赛前几年，团体前三名的奖金分别为 $500、$300 和 $200，个人前五名每人可获奖金$50，并成为 Putnam 会员(Putnam fellow)。近年来，奖励团体前五名的大学的数学系的奖金分别为 $25000(每个队员可得到$1000奖金)、$20000(每个队员可得到$800奖金)、$15000(每个队员可得到$600奖金)、$10000(每个队员可得到$400奖金) 和 $5000(每个队员可得到$200奖金)。个人前五名每人可获奖金$2500，并成为 Putnam 会员。5-15名每人可获奖金$1000，16-26名每人可获奖金$250。当然更重要的不是金钱奖励，而是优胜者获得的荣誉和锻炼，为他们的事业创造了良好的开端。一些学校的队会获得荣誉提名奖。另有58位个人得到荣誉提名奖。此外，还把排名前106名的个人的名字登出来作为表扬奖。

该竞赛自1938年举行以来，除了因为第二次世界大战，从1943到1945停办，以及1958年举办了两次竞赛外，都是一年一度的竞赛。2007年将举行第68届普特南数学竞赛。近年来大约有500多所大学的3500-3800左右的大学生参加这个竞赛。

由于赛题相当难，因此该竞赛被美国时代杂志(Time Magazine)称为“世界上最难的数学竞赛(World's Toughest Math Contest)”。因此，也有人把该竞赛译为“普特难数学竞赛”。

很多普特南数学竞赛的优胜者，后来成为著名的科学家、数学家和企业家

Richard Feynman、Kenneth G. Wilson、Steven Weinberg 和 Murray Gell-Mann 获得 Nobel 物理学奖; John Nash获得 Nobel 经济学奖; John Milnor、David Mumford、Daniel Quillen、Paul Cohen、John G. Thompson等获得数学界的 Nobel 奖 Fields奖; 此外, 人类基因组计划的主要负责人之一的Eric Lander, 著名的计算机科学家 Donald Knuth 等人都曾参加过普特南数学竞赛并获得优胜奖励。Microsoft 的创始人 Bill Gates 也参加过普特南数学竞赛。

普特南数学竞赛的不足之处

    一是，由于基础比较差，特别是没有优秀的指导教师和高质量的培训，很多参赛学生考分极低，一定程度上挫伤了他们的情绪。二是，普特南数学竞赛很少有实际应用题，更不容许使用计数器或计算机，它不能满足对数学的实际应用有兴趣的学生的要求。当然，作为一种针对数学系学生的纯数学的学科竞赛，认为这两点是不足之处也似乎并不妥当。

有关普特南数学竞赛的部分图书和文章

要想进一步了解普特南数学竞赛的读者，除了访问引言中提及的网站外，还可以参考以下图书：

The William Lowell Putnam Mathematical Competition. Problems and solutions: 1938-1964, by Gleason, Greenwood and Kelly, December 1980, MAA(Mathematical Association of America), 664 pages;

The William Lowell Putnam mathematical competition. Problems and solutions: 1965-1984, edited by Alexanderson, Klosinski and Larson, June 1985, MAA, 151 pages;

The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1985-2000: Problems, Solutions and Commentary, by Kedlaya, Poonen and Vakil, September 18, 2002, 354 pages.

Razvan Gelca, Titu Andreescu, Putnam and Beyond, Springer, 2007,

普特南数学竞赛:1939-1980 · 刘裔宏译 · 湖南科学技术出版社 1983.

美国大学生数学竞赛例题选讲, [美]L.C.拉森(Loren C.Larson)著；潘正义译,科学出版社，北京, 2003

Joseph A. Gallian, Putnam, 数学竞赛66年，数学译林，v. 24(2005), no. 4, 375 – 381.

美国数学协会的刊物The American Mathematical Monthly (美国数学月刊) 在竞赛的第二年都会刊登竞赛总结、题目及其参考解答。《数学译林》自1994年起每年都有一期会刊登从52届到现在的竞赛总结、题目及其参考解答的中译文。

2  大学生数学建模竞赛

由于上面提到的普特南数学竞赛的缺陷，特别是由于计算机、计算技术和能力以及网络技术的迅速发展，数学的应用范围日益扩大，越来越多的人认识到数学特别是数学建模的重要性，要求数学教育(包括数学竞赛)作出相应的改变。由于美国科学发展领先，大学生数学建模竞赛首先出现在美国也是可以理解的。我们还是来看看美国大学生数学建模竞赛的创始人Ben A.  Fusaro 是怎么说的。他在总结第一届美国大学生数学建模竞赛(MCM-1985)的文章(B. A. Fusaro, Mathematical Competition in Modeling, Mathematical Modelling, v. 6(1985), 473 - 485)中说：“我在1983年10月想到了有关全国大学生应用数学竞赛的概念。这是由于我们在组织我校学生参加中碰到的困难而引发的。州立沙立兹伯里学院(Salisbury College)很大百分比的学生是第一代大学生(译注：即家里的父辈都没有上过大学)， 他们往往把面对这样一种可怕的考试(译注：即普特南数学竞赛)仅仅看作是一种煎熬。参加竞赛只得到极低的分数的经验又扩大了这种令人寒心的效应。最后，普特南数学竞赛中很少的应用内容也不能激起对实际应用感兴趣的学生的兴趣。不过，这种应用数学竞赛的概念要比只是修改一下现行的Putnam竞赛的内容要丰富得多。

这种竞赛的概念是基于我十多年来发展形成的基本理念。我对过分强调已经建立得很好的数学的纯粹性、形式方法以及几乎没有实际应用的内容感到不满。许多校区没有任何可以觉察到的应用或构造性(数学)的存在。在我的心目中，(经典的)应用数学、计算数学、统计学和纯粹数学一样都是数学科学教学活动和课程的重要组成部分。……

反映1945年以后的布尔巴基(Bourbaki)倾向的Putnam竞赛涉及的是数学的顶尖部分的很小的邻域的问题。… 从Putnam竞赛很难告诉人们计算机在起作用。”

Fusaro坚信自己的想法是正确的。他去找了许多著名的应用数学家、Putnam数学竞赛的专家以及美国非盈利机构“数学及其应用联合会(Consortium for Mathematics and Its Applications, 缩写为COMAP)”的负责人征求意见，他得到的响应几乎都是同意的意见和很好的建议，他也与他人合作申请到了相关的课题和经费。竞赛终于在1985年举行了。竞赛的名称则改为(美国)大学生数学建模竞赛(The Mathematical Competition in Modeling, 缩写为MCM)，后来改为The Mathematical Contest in Modeling，其缩写不变。1999年又增加了跨学科建模竞赛(The Interdisciplinary Contest in Modeling, 缩写为ICM)。

如果说Putnam数学竞赛是一种彻底闭卷的考试，那么大学生数学建模竞赛就是一种彻底公开的考试。近年来该竞赛从每年2月第二周的星期四美国东部时间8:00pm开始, 到下周星期一美国东部时间8:00pm结束，共4天。现在MCM和ICM是由COMAP组织进行的，竞赛得到美国国家安全局(NSA)、运筹学和管理科学学会(INFORMS)、工业与应用数学学会(SIAM)以及美国数学协会(MAA)的资助。指导教师想为学生报名参加ICM应通过网址 http://www.comap.com/undergraduate/contests/ 报名参加。参赛ICM只能选C题, 即竞赛时只能做C题, 而报名参赛MCM的可以从MCM的A, B题中任选一题。它们都是一年一度的主要面向大学生的通讯竞赛，由三个大学生组成一个队参加竞赛，每个队选择竞赛组织者提出的问题之一运用数学建模的方法来解决或部分解决该实际问题并写成论文，在指定的时间之前寄给竞赛组织者，然后由MCM委员会和ICM委员会分别邀请专家进行评阅和评奖。评奖等级分为: 特等奖(Outstanding)、一等奖(Meritorious) 、二等奖(Honorable Mention)和成功参赛奖(Successful Participant)。所有获奖者及其指导教师都将获得一张证书。特等奖的论文将发表在美国著名的大学数学杂志Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications (简称UMAP)上。特等奖的获奖学生将获得现金或被邀请参加专业学会的年会作报告等奖励.

为什么MCM和ICM是一种彻底公开的竞赛呢？

COMAP关于竞赛的说明中指出: “本竞赛由可供选择的A, B和 C三道题组成. 重要的是: 参加MCM的队可以选做A或B题但不能选C题, 提交解题论文时只能A或B题中的一题. 报名参加ICM的队只能做C题不能选A或B题.

各队在准备解题论文中的可以和不可以:

各队可以利用无生命的数据资源或材料: 计算机、软件、参考书、网上资料、图书等, 然而所有用到的资料必须标明出处. 不这样做其结果将是取消该队的参赛资格.

除了和本队的队员讨论、研究赛题外, 不可以从指导教师或队外任何人寻求帮助或进行讨论. 来自队外任何人的输入都是严格禁止的. 这种输入包括电子邮件、电话联系、个人交谈、经由网上的聊天或者其他的提问-回答系统的交流, 或者任何其他形式的交流.

不完全的解题论文是可以接受的. MCM/ICM对提交的论文的评阅既没有通过或失败那样的取舍点. 也不会给出数值分数. 评阅主要考察各队的步骤和方法.

摘要页(注: MCM/ICM规定解题论文必须有一页摘要.) 摘要是你们提交的MCM论文的极其重要的组成部分. 阅卷专家对摘要予以相当大的权重, 有时获奖和没有获奖的论文就是根据摘要的质量来区分的. 为了写好摘要, 试设身处地想一想读者很可能是根据你们的摘要来决定要不要读全文的. 因此, 摘要应该清楚地叙述你们处理问题的方法, 最主要的是说清楚你们最重要的结论是什么. 你们简洁的摘要应该能激起读者想了解你们工作的细节的欲望. 只是重述竞赛试题或从你们论文的引言中剪贴一些陈词滥调通常认为是差的摘要.

你们提交的论文的简洁和组织是极其重要的, 必不可少的陈述应该提出主要的思想和结果. 论文应该包括以下内容: 用你们自己的语言重述和解释竞赛试题. 必不可少的陈述应该提出主要的思想和结果. 合乎逻辑的假设及其理由, 强调与本问题有关的假设; 清楚地列出你们模型中所有的变量; 你们所采用/研制的模型的设计及其合理性; 模型的测试和敏感性分析, 包括误差和稳定性分析等等; 讨论你们的模型和方法的优缺点; 提供用文字、图形或框图表示所研制的(作为一步接一步的算法步骤的)计算机代码的算法。”

我国从1992年开始举办的一年一度的中国大学生数学建模竞赛，其形式学自美国，但是我们充分考虑到我国的国情，在教育部的领导和指导下取得了很大的成绩，培养了大批的优秀学生和优秀教师(具体参见§4.2)。

3  为什么要参加大学生数学建模竞赛

如果只能用一句话来回答的话，那就是，因为大学生数学建模竞赛是培养学生创新能力和竞争能力的极好的、具体的载体。下面我们分别从学生、教师和领导的角度来谈为什么要参加大学生数学建模竞赛。

实际上，我们在《大学生数学建模竞赛辅导教材(四)》，湖南教育出版社，2001，“第一章 怎样参加大学生数学建模竞赛”，1 – 22 中已经有了比较详细的论述。这里我们主要针对高职高专院校的领导和师生来讲一些看法。

1．  对于学校的领导(校长、教务处长等)来说，全心全意把学校搞好(高质量的教学、高百分比的就业率、高水平的教师队伍以及提高知名度等)肯定是他们追求的办学目标而且会采取各种措施。但是就选派学生参加大学生数学建模竞赛来说，不少领导(甚至数学教师)会非常犹豫：我们数学课时少，教学任务重，即使参加了，拿不到奖的话，不但不能提高学校的知名度，甚至会招致一些负面的议论等等。实际上，领导们有三个问题考虑不够，它们是：                                                                ⑴ 对数学的极端重要性要有充分的认识。学生将来的发展和成就是和他们坚实的数学基础密切相关的。但是现在的数学教学确实有许多不足之处有待改革，特别是怎么做到不仅教知识，而且要教知识是怎样用来解决实际问题的是有待加强的。让部分师生参加到数学建模活动，特别是大学生数学建模竞赛肯定是有利于推动教学改革的。                                     ⑵ 办好学校的关键之一是提高教师的教学水平。怎样提高呢？鼓励教师组织学生参加大学生数学建模竞赛等数学建模活动，既可以帮助教师进一步了解怎样用数学来解决实际问题，更有助于数学教师到其他专业系科了解他们要用什么样的数学以及怎样用这些数学，互相学习，进行切磋，从而对怎样提高自己的教学水平，数学教学怎样更好为其他专业后继课，甚至专业课题研究服务产生具体的想法，提出切实可行的措施，最终能够提高教师的专业水平和教学水平，从而也就提高了学校的水平。                                                                   ⑶ 学生要求参加大学生数学建模竞赛的积极性是很高的，关键是怎样组织好，培训好。实际上，即使是高职高专院校，也一定有一部分学生的数学基础是相当坚实的，他们之间又有一部分对数学，特别是用数学来解决实际问题有强烈的兴趣。为什么不组织他们参赛呢？培养一些数学基础好对应用又有能力的高职高专院校的学生，今后他们在工作中做出好成绩的可能性肯定会比较大。毕业生事业有成者多也标志了学校办得好、有水平。此外，对于主要因材施教也会产生一些很好的想法

2．  对于数学教师来说，组织、指导学生参加大学生数学建模竞赛对自己也会有极大的好处。   ⑴ 要求自己进一步学习并刻苦钻研数学建模的数学和方法，思考怎样在赛前帮助学生，调动学生主动学习的实践的积极性，在赛后和学生一起总结提高。这肯定会大大提高教师的教学水平和专业水平。                                                   ⑵ 对怎样进行教学改革会有具体的想法。有可能使自己的教学风格和教学更受学生的欢迎。                                                                     ⑶ 因为深入了解，甚至亲身实践和体验了怎样用数学去解决实际问题，就为和其他专业系的教师进行交流切磋，甚至合作打下了很好的基础，有可能大大提高自己的应用数学科研水平。                                                                    当然，年青数学教师一般都是课时多，加上家庭负担，要抽出相当多的时间来组织、指导学生参加大学生数学建模竞赛是有一定困难的。问题的关键是学校的政策以及教师本身的积极性和钻研精神，有了这些，时间是一定可以“挤”出来的。

3．  对于学生来说，参加大学生数学建模竞赛很可能是一生中的一件大事，将会是“一次参赛，终生受益”好事。很可能会影响到有些学生的一生。因为该项竞赛能帮助学生提高创新能力、竞争力和一些优秀的品质，在某种意义上说是提前了解到今后走向工作岗位后所需要的能力和品质。(详见§4.2)

4  怎样参加大学生数学建模竞赛

因为在《大学生数学建模竞赛辅导教材(四)》的第一章中已经有详细具体的建议，这里我们结合我们了解到的主要高职高专院校在竞赛个阶段的经验和教训，针对高职高专院校参加大学生数学建模竞赛的师生来讲几点意见，特别提出赛后继续阶段是非常重要的，并给出具体的例子。

4.1  培训阶段

1．细水长流和集中培训结相合。最好是在二年级一开始就有一个课外活动小组或选修课，时间可以是周末的一个半天；

2．培训内容可以是教师启发式地讲授微积分、线性代数、概率统计初步以及数学软件等方面的扩充知识。主要是要提高学生自学的能力。更重要的是用讨论班的形式让学生具体了解竞赛要完成什么任务，给学生过去的优秀论文，自己去念、消化和发现问题，然后在讨论班上报告(自以为念懂了，不等于真正懂。如果能够讲得讨论班其他人都懂了，特别是能够在他人的质疑中清楚、正确地答辩，才是真正的懂，是能力的提高)。在讨论班上教师的作用既要尽可能起到启发和答疑的主导作用，更要用心观察学生学习过程中的问题与困难之所在。

3．2 -3 次的模拟考试，让学生适应实战情形。指导学生怎样写论文，仔细阅读学生的论文，具体地指出优缺点和改进建议。发现可以很好合作又具备不同的(例如，数学、计算机编程和写作)能力的三个同学组织成一个队。提高学生的表达能力和写作水平。

学生实际能力的提高是在这个阶段。

4.2  三天的拼搏

这是学生独立去迎接竞赛的挑战，可以说是“临门一脚”，既体现培训的成果，也要充分展现学生的应变能力，当然有时候也有运气的问题。最主要应该做好以下事情：

⑴要有充分的时间来审题，展开充分的讨论，写下曾经讨论过的所有假设，设想的各种做法，作为需要修改模型时的参考。

⑵首先针对题目的要求来进行数学建模，回答题目中的问题，再做自己的发挥。

⑶一开始就有一位队员负责写论文的初稿。特别要写好摘要。语句通顺、实事求是，引用别人的结果一定要说明，并在参考文献中写明。要有精益求精的精神，不断仔细阅读、检查、修改自己的论文。

⑷因为在三天内不可能把三个人的想法都实现，在交卷前记下自己曾经想过的(不一定来得及做的)设想、解法以及查到的参考文献，以备赛后继续阶段之用。

4.3 赛后继续阶段

竞赛结束并不意味着对参赛同学的挑战的终结，在某种意义上说是真正收获开始。理由有二。

其一是，绝大多数同学在参赛的三天里有很多想法，由于时间的限制，无法去试一试，更不知道这些想法是不是更好；另外，已经做出的成果是否有缺陷等许多问题，需要推敲和深入研究，好好总结，只有善于总结，发现自己优缺点的人，才能做到扬长避短，不断前进，取得更大的成绩。

其二是，竞赛的唯一禁律 ― 不可以和队外任何人以任何方式讨论赛题 ― 已经不复存在，师生完全可以在一起切磋、讨论和进一步研究相关的问题。对于指导教师或其他青年教师，竞赛题目的深化往往提供了很好的科研题目，即使对于乙组的题目也是如此。事实也确实如此，只要看一下教师或学生在不少期刊(包括国外的期刊，如 Journal of mathematical and computer modeling )上发表的与竞赛题目有关的论文就知道了。这些工作有的提高了教师或学生的学术水平，增强了研究能力，反过来也会提高教师的教学水平。不少教师因此而获得了“优秀教师”的荣誉等各种奖励。还有一些深化的成果，则产生了很好的社会和经济效益。